Définition d'une suite arithmétique

Définitions

Une suite numérique `u` est une fonction qui, à tout entier naturel `n` , associe un unique réel noté `u(n)` :

                         \(u : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}\)

                                \(n \longmapsto u(n)\)

`u(n)` est appelé terme de rang `n` de la suite `u` .

Une suite `u` est une suite arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours un même nombre, positif ou négatif. Cela signifie qu'il existe un nombre réel `r` tel que, pour tout entier naturel `n` ,  \(u(n+1)=u(n)+r\) .

\(\) Le nombre `r` est appelé raison de la suite `u` .

La relation \(u(n+1)=u(n)+r\) est appelée relation de récurrence : elle permet de calculer les termes de la suite de proche en proche.

Notation indicielle

Dorénavant, au lieu d'écrire `u(n)` , on écrira `u_n` , qui se lit « \(u\)  indice `n`  ». Avec cette nouvelle notation, la relation de récurrence d'une suite arithmétique de raison `r` s'écrit donc `` `u_{n+1}=u_n+r` . La suite  `u`  pourra alors se noter  `(u_n)` .

Exemple 1

Soit  `(u_n)` la suite arithmétique de premier terme \(u_0=-1\) et de raison `r=2` . On a :

• \(u_1=u_0+2=-1+2=1\)
  
• `u_2=u_1+2=1+2=3`
  
• `u_3=u_2+2=3+2=5`
  
• etc.
  

De façon générale, pour tout entier naturel `n` , `u_{n+1}=u_n+2` .

Exemple 2

Soit `(v_n)` la suite arithmétique de premier terme `v_0=5` et de raison \(r=-0,2\) . On a :

• `v_1=v_0-0,2=5-0,2=4,8`
  
• `v_2=v_1-0,2=4,8-0,2=4,6`
  
• `v_3=v_2-0,2=4,6-0,2=4,4`
  
• etc.
  

De façon générale, pour tout entier naturel `n` , `v_{n+1}=v_n-0,2` .